数学の応用問題が簡単になる!

数学(算数)の応用問題は内容を整理するだけで超簡単になる!

数学はまあまあ得意な、よくできる?学生《@yokudekiru》です。

数学(算数)を苦手な方は多いと思います。
中学生の学習に関する意識・実態によれば、数学を好きだと回答している中学生の割合は39.4%です。裏を返せば、約60%の中学生が数学を好きではないということが分かります。

そんな数学の中でも「応用問題は苦手」という方は特に多いです。
実際「計算問題は解けるけど、応用問題は解けない」や「応用問題は問題の意味が理解できずにいつも解けない」というひとはたくさん見かけます。

しかし、応用問題は問題内容をしっかりと整理できれば、皆さんが思っているほど難しくありません
問題内容さえ整理できれば、一見難しく見える問題でも、簡単になってしまいます。

そこで、この記事では、数学の応用問題の内容を整理して解く方法(ワザ)を実際に問題を解きながら解説します。

数学(算数)の応用問題の内容を整理して解く方法

3つの問題を使って、応用問題の内容を整理して解く方法を解説します。問題を整理するのは2つのコツがあるので、そこはよく読んでください。

基本1:問題の条件を整理して解く(数字の問題)

まずは、問題を整理して解く基本的な問題です。あんまり難しくないので、小学生高学年以上なら普通に解けると思います。
「答えの手掛かりになりそうな問題の情報(条件)をリストに整理する」ことを意識して解いていきます。

練習問題
ある数は2の倍数で、20に3を掛けた数から50を引いた数より大きく、22から16と24の最大公約数を引いた数より小さいそうです。ある数は何でしょうか。
「より大きい」「より小さい」にはその数を含みません。
最大公約数とは、2つ以上の正の整数に共通な約数(割れる数)のうち最大のもののことを指します

一見、ある数についてのいろんな条件があって、ややこしいです。頭の中で考えてしまうと、頭が混乱してしまいます。
そこで、問題の答えの手掛かりになりそうな情報をリストに整理してまとめてみます。まとめてみると、以下の3つの手掛かりがあることとわかります。

  • 2の倍数
  • 20に3を掛けた数から50を引いた数より大きい
  • 22から16と24の最大公約数を引いた数より小さい

それぞれについてまとめて(解いて)みると以下の様になります。

  • 2の倍数→偶数
  • 20×3-50=10→10より大きい
  • 16と24の最大公倍数は8だから、22-8=14→14より小さい

まとめたそれぞれの手掛かりをつなげてみると、ある数は「10より大きく、14より小さい偶数」ということになるので「11、12、13の中で偶数であるもの」ということになり、答えは12になります。

★ポイント★
問題のなかの答えの手掛かりとなりそうな情報は、リストにしてまとめる。そして、それぞれの手掛かりをまとめてから、手掛かりをつなげていき答えを導き出す。

基本2:条件を整理してから図を使って考える(値段の問題)

先ほどのようなあまり複雑ではない問題では、リストを活用するだけで十分に答えをだすことができます。しかし、それでも問題が複雑になってくるとリストを使ってでも難しくなってきます。
そこで、使うのは図です。リストにしてまとめた問題の条件を、図で表してみるようにしましょう。

今回練習に使うのは、ややこしくなりがちな値段の問題です。問題自体はよくあるもので、あまり難しくはないので、小学生高学年以上なら理解できると思います。

練習問題
とある洋服屋さんでシャツが定価の2割引きで売られていました。しかし、人気がなかったのでさらに3割引きすると、2520円になりました。このシャツの定価はいくらでしょうか。

まず、問題から答えの手掛かりになりそうな情報ををリストに整理してみます。

  • シャツが定価の2割引き(20%引き)で売られている。
  • それからさらに3割引き(30%引き)すると2520円になった。

~~割引というのは、掛け算に直します。2割引きは ×0.8 に3割引きは ×0.7 になります。

参考

  • 1割 = 10% = 0.1
  • 1割引き = 10%割引 =  100% – 10% = 1 – 0.1  = 0.9

最終的にリストはこうなります。

  • シャツが定価 ×0.8 で売られている。
  • それからさらに ×0.7 すると2520円になった

これだけではよく分かりにくいので、リストを図にして表してみます。
実際に書くときは、適当でもよいのですが、できるだけ大きく書くようにしましょう。(そのほうが見やすいです。)

リストを図にしてあらわす

図から定価に0.8と0.7をかけると2520円になることが分かります。式にあらわすとこうなります。

定価 × 0.8 × 0.7 = 2520

0.8 × 0.7 は 0.56 になるのでさらに下のようになります。

定価 × 0.56 = 2520

上の式より定価に0.56をかけると2520になることが分かります。逆のことをすれば定価がでてくるので、定価を求めるためには2520を0.56で割ります。

2520 ÷ 0.56 = 4500

よって、定価は4500円となるので、答えは4500円です。

★ポイント★
ややこしい問題は、リストを完成させたら、それを図にして表す。その図を使って問題の答えの求め方を考える。

応用:条件と図を効果的に使う(時間と距離と速度の問題)

次はかなり実践的な問題でやってみます。この問題を解くには、本来中学1年生で習う1次方程式を使わないといけません。しかし図を使うことで、方程式なしでも解けるようになります。そこで、図をうまく使って解いていきます。

この問題は中学生でも結構難しいので、頑張って説明についてきてください。
練習問題
A駅とB駅があります。その間を分速600mの列車Xと、分速が分からない列車Yが走行します。
9時ちょうどに列車XはA駅からB駅に、列車YはB駅からA駅に向かって同時に出発した時、列車Xは9時10分にB駅に到着し、列車Yは9時15分にA駅に到着しました。この時、列車Xと列車YがA駅とB駅の間ですれ違ったのは、それぞれの列車が出発してから何分後でしょうか。

まず、先ほどのように問題から手掛かりになりそうな情報をリストにしてまとめてみます。

  • A駅とB駅がある
  • 列車Xは分速600mで、A駅からB駅までを10分で走る
  • 列車Yの分速は不明で、B駅からA駅までを15分で走る

このリストから、問題の内容を図で表すと、こんな感じになります。

問題の内容を図にまとめる

問題の内容を図にまとめる

すると、図の中で分からない情報が2つ浮かび上がってきます。A駅とB駅の距離と列車Yの分速です。
そこで、まず初めにA駅とB駅の距離と列車Yの分速を求めます。ちなみに、距離と速さと時間の関係は以下のようになっています。

  • 距離 = 速さ × 時間
  • 速さ = 距離 ÷ 時間
  • 時間 = 距離 ÷ 速さ

まず、A駅とB駅の距離です。それは「列車Xは分速600mで、A駅からB駅までを10分で走る」から求めます。
距離を求めるには、速さ(分速600m)と時間(10分)をかければよいのですから、「A駅とB駅の距離 =  600 × 10」となります。
ですから、A駅とB駅の距離は6000mになります。

問題を図で表す

次に列車Yの分速を求めます。
上の図を見ると、列車YはA駅とB駅の6000mを15分で走ることが分かります。
速さ(分速)を求めるには、距離(6000m)を時間(15分)で割れば良いので「列車Yの速さ(分速) = 6000 ÷ 15」となります。
ですから、列車Yの分速は400mになります。

問題の条件を表に整理

これで図が完成しました。
そこで、次に問題である「この時、列車Xと列車YがA駅とB駅の間ですれ違ったのは9時何分でしょうか」を解きます。
互いの列車が出発してからすれ違うまでを図に表すと下のようになります。

図から問題を解く

図から列車Xは列車Yに向かって1分で600mずつ、列車Yは列車Xに向かって1分で400mずつ進んでいることが分かります。つまり、600 + 400 で列車Xと列車Yはすれ違うまで1分間で1000mずつ近づいていることになります。

「A駅とB駅の間は6000m」というところと「列車Xと列車Yは1000mずつ近づいている」というところから、それぞれの列車が出発してから、すれ違うまでの時間を求めます。
時間を求めるには距離(6000m)を速さ(分速1000m)で割るので「すれ違うまでの時間(分) = 6000 ÷ 1000」
計算の答えは6になるので、問題の答えは6分後です。

★ポイント★
リスト、図を書いてみて足りない情報があったらそこを求めてから、問題の答えを求める。

数学(算数)の応用問題の内容を整理して解く方法まとめ

数学(算数)の応用問題を解くには、問題の内容を整理していくことが大事だということがわかったと思います。
問題を整理するには、頭の中で考えるよりも、この記事でやったようにリストや図を使ったほうが良いです。そうすることで、難しい問題でも解き方が分かったり、ミスを減らすことができます。

最後に、数学の応用問題をだすので、この記事で学んだことを元に解いてみてください。ヒントはありですが、解説は無しなので頑張ってください。

問題を整理して解く確認問題

弟と兄がいます。兄の歩く速さは分速90mで、それは弟の歩く速さの1.5倍だそうです。兄と弟が自転車に乗ると、弟は歩く3倍の速さで進み、兄は弟の自転車の2倍の速さで進むそうです。
ある池の周りに道があります。その道を弟は歩きで兄は自転車を使って、池の周りを2人がそれぞれ違う向きにまわります。2人が同じ地点を出発すると、出発してから10分後に会いました。
さて、池の周りの道の長さは何mでしょうか。
この問題を頭の中だけで解くのは不可能に近いです。いらない紙などを使って解いてみてください。

※考えてみて、分からなくなったら下にスクロールしてみてください。ヒントがでてきます。

確認問題のヒント①

この確認問題を図で表すとこうなります。

問題を図であらわす

ここから、何を求めるべきなのか考えてみてください。

※まだヒントはあります。スクロールして見てください。

確認問題のヒント②

図を完成させるために、求めるべきことは以下の通りです。

  • 弟の歩く速さ
  • 弟の自転車の速さ
  • 兄の自転車の速さ

これが分かったら、ヒント①の図を完成させてみましょう。

※ヒントはまだあります。スクロールして見てみてください。

確認問題のヒント③

最後のヒントです。ヒント②で求めたことを、ヒント①の図に足してみるとこうなります。

考えたことを図に挿入する

兄の進んだ距離と弟の進んだ距離を足せば、池の周りの道の距離にがでてきますよ。

※ヒントは以上です。さらにスクロールすると答えがあります。

確認問題の答え

答えは4200mです。
もし、なぜこの答えになるか分からなければ、以下の図を参考に考えてみてください。

確認問題の考え方

3600 + 600 = 4200 です。